(Wikipedia 楕円曲線暗号より)

楕円曲線暗号（だえんきょくせんあんごう、Elliptic Curve Cryptography: ECC）とは、楕円曲線上の離散対数問題 (EC-DLP) の困難性を安全性の根拠とする暗号。1985年頃に ビクタ・ミラー (Victor Miller) とニール・コブリッツ (Neal Koblitz) が各々発明した。

具体的な暗号方式の名前ではなく、楕円曲線を利用した暗号方式の総称である。DSAを楕円曲線上で定義した楕円曲線DSA (ECDSA)、DH鍵共有を楕円化した楕円曲線ディフィー・ヘルマン鍵共有 (ECDH) などがある。公開鍵暗号が多い。

EC-DLPを解く準指数関数時間アルゴリズムがまだ見つかっていないため、それが見つかるまでの間は、RSA暗号などと比べて、同レベルの安全性をより短い鍵で実現でき、処理速度も速いことをメリットとして、ポストRSA暗号として注目されている。ただしP=NPが成立した場合、EC-DLPを多項式時間で解くアルゴリズムが存在するということになり、ECCの安全性は崩壊する（公開鍵暗号自体が崩壊）。また、送信者が暗号化時に適当な乱数（公開鍵とは違うモノ）を使うので鍵が同じでも平文と暗号文の関係が1対1でない点にも注意（ElGamal暗号でも同様）。

一部の楕円曲線には、DLPを解く多項式時間アルゴリズムが見つかっているため、注意が必要である。

歴史

暗号理論に楕円曲線を利用しようというアイディアは、1985年にニール・コブリッツ (Neal Koblitz) と ビクタ・ミラー (Victor Miller) によって独立に提案された。楕円曲線暗号は、2004〜2005年ごろから広く使用されるようになっている。

理論

暗号における楕円曲線とは、ある有限体 K 上の式

\(y^2 = x^3 + ax + b \, \)

を満たす全ての点 P=(x,y) の集合に、無限遠点と呼ばれる特別な点 O を加えたものである。ここで、 x と y は有限体 K の要素である。（K の標数が2または3の場合、上式では不都合が生じるため、標数は2と3以外であるとする。）

この集合と楕円曲線上の群演算は、無限遠点を単位元とするアーベル群となる。群演算は楕円加算と呼ばれる。群構造は、代数多様体の因子群から引き継がれる。

楕円曲線上の加算

楕円曲線E上に位置する2点 \(P_{\!A}\, (x_1,\, y_1),\, P_{\!B}\, (x_2,\, y_2)\) の加算は以下の通りである。

まず、無限遠点を \(O\) とすると、\(P_{\!A} + O = O + P_{\!A} = P_{\!A}\) である。すなわち、\(O\) が単位元である。

もし \( x_1 = x_2, y_1 = - y_2 \) ならば、\(P_{\!A} + P_{\!B} = O \) である。

それ以外の場合、\(P_{\!C} = P_{\!A} + P_{\!B}\) は、2点 \(P_{\!A},\,P_{\!B}\) を通る直線とEとの（\(P_{\!A}\) および \(P_{\!B}\) と異なる）交点の、y座標の符号を反転したものである。すなわち \(P_{\!C}\, (x_3,\, y_3)\) は以下のようになる。

\(x_{3}=\phi^{2}-x_{1}-x_{2},\)

\(y_{3}=-\phi x_{3}-\psi.\)

ただし \(\phi,\, \psi\) は

\(\phi=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}},\)

\(\psi=\frac{y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}}{x_{2}-x_{1}}.\)

楕円曲線上での2倍算

楕円曲線E上の点 \(P_{\!A}\, (x_1,\,y_1)\) に対し、これを2倍した点 \(2P_{\!A} =P_{\!A}+P_{\!A}\) は、以下のように求められる。

\(y_1 = 0\) のとき、\(2P_{\!A} = O\) である。また、\(2O = O+O = O\) である。

それ以外の場合は、\(P_{\!D} = 2 P_{\!A}\) は、\(P_{\!A}\) でのEの接線がE自身と交わる（\(P_{\!A}\) とは異なる）交点の、y座標の符号を反転したものである。すなわち \(P_{\!D}\, (x_4,\, y_4)\) は以下で求められる。

\(x_{4}=\phi^{2}-2x_{1},\)

\(y_{4}=-\phi x_{4}-\psi.\)

この式は異なる二点の加算の場合と同じであるが、\(\phi,\, \psi\) の計算式が次のように変わる。

\(\phi=\frac{3x^{2}_{1}+a}{2y_{1}},\)

\(\psi=\frac{-x^{3}_{1}-a x_{1}+2y_{1}^2}{2y_{1}}.\)

スカラー倍算

スカラー倍算（Scalar Multiplication）は楕円曲線上におけるけ算である。楕円曲線上の点と点を掛けるのではなく、点に整数（スカラー）を掛けることに注意。

暗号化・復号の過程において、\(Q=dP\)（\(P,\, Q\) は楕円曲線上の点）という演算を行う。
ナイーヴな実装としては \(Q = ( \cdots ( ( P+P ) + P ) + \cdots ) + P\) というように Pを \((d-1)\) 回加算（1回目は2倍算となる）するが、これでは効率が悪い。

スカラー倍算はRSA暗号などにおけるべき乗剰余演算とリンクしており、これの高速化手法もそれから流用できるものが多い。例えば、そのひとつとして有名なBinary法では、dを2進数表記し、dの各ビット \(d_i\) が "0" の場合は2倍算のみを行い、"1" の場合は2倍算と加算を行うことにより、ナイーブな実装と同じ計算をより高速に行なっている。この計算手法では、2倍算はべき乗剰余演算における自乗算、加算は掛け算にそれぞれ対応している。

この演算は楕円曲線暗号の根幹を成している部分であり、楕円曲線暗号を利用する際の時間の大半を占めている。ゆえに、ICカードなどハードウェア上に演算回路を実装する場合はサイドチャネル攻撃（特にSPA、DPA）のターゲットとなる箇所なので工夫が必要となる。

離散対数と離散対数問題

ある楕円曲線上の点 \(G\) から、\(2 G, 3 G, 4 G, \ldots \) を計算していくと、次々と異なる（楕円曲線上の）点が得られ、いずれは無限遠点 \(n G = O\) が得られる。（その後は、\((n+1)G = G, (n+2) G = 2GP, (n+3) G = 3 G, \ldots \) と繰り返される。）このように \(G\) からスカラー倍算によって得られる点の集合を \(\langle G \rangle = \{ G, 2 G, 3 G , \ldots, O \}\) と書くことにすると、\(\langle G \rangle\) は巡回群となる。巡回群の位数は \(n\) であり、\(\langle G \rangle\) を生成する元 \(G\) はベースポイントとも呼ばれる。

巡回群 \(\langle G \rangle\) の任意の要素（楕円曲線上の点）\(X\) に対し、\(X = aG\) を満たす \(a\) が \(\{0,1,\ldots , n-1\} \) の中に常にただ一つ存在する。このような \(a\) を \(X\) の離散対数と呼ぶ。また、\(\langle G \rangle\) から無作為に選らばれた \(X\) を与えられ、その離散対数を求めよという問題を、楕円曲線上の離散対数問題 と呼ぶ。

また、\(\langle G \rangle\) から無作為に選らばれた二つの点 \(X = aG, Y = bG\) を与えられ、\(abG\) を求めよという問題を、楕円曲線上のディフィー・ヘルマン問題 と呼ぶ。

最もポピュラーな離散対数問題は、\(p, g\) と \(y = g^x \bmod p\) から \(x\) を求めよ、という問題であり、\(g \isin Z_p^* (=Z/pZ)^{\times}\) から生成される乗法群の上で定義されている。これに対して、楕円曲線は加法群であるため、\(Y = aP\) を満たす \(a\) を離散対数と呼ぶという、奇妙なことになっている。

巡回群の位数 \(n\) が小さければ、離散対数問題やディフィー・ヘルマン問題が容易に解けてしまうため、位数が巨大な素数になるようなベースポイント（と楕円曲線）が使用される。

解読

• 2004年4月10日: ECC2 109ビットの解読に成功 ()。
• 2009年7月8日: ECC 112ビットの解読に成功（SONY・PS3使用）